引言:多诺万· 瓦塞尔·怀尔德是美国著名的数学家，都是数学思想行业的一位名匠。对其原始文献与研 究参考文献进行分析的前提下，阐述了怀尔德在转为数学思想以前的拓扑学科学研究，汇总了他对拓扑学的重要贡 献，阐述了他对于拓扑学发展的重要危害。

关键字: 怀尔德; 莫尔; 部位剖析;拓扑;流形

中图分类号:O11文献标志码:A文章编号:1674 － 3873 － ( 2019) 04 － 0048-06

Raymond Louis Wilder

多诺万· 瓦塞尔·怀尔德( Ｒaymond Louis Wilder) 是 20 新世纪美国有名的拓扑学家，在数学思想领 域也卓有建树^[1]． 他一生的教学与研究工作主要体现在两个层面，一是纯粹数学的拓扑学科学研究; 二是对 数学、历史时间、哲学思想和社会学的探索。 在拓扑学的探索上，怀尔德作出了极其突显的成效，这个人是美国科 学校教授( 1963) ，并任过美国数学会( AMS，1955—1956) 和美国数学课研究会(MAA，1965—1966) 主 席． 怀尔德是美国德州市拓扑学派的关键一员，还曾经是普林斯顿大学高等研究院成立之时最开始的几位拓扑学家 之一，与众多拓扑名人一起从事多年科学研究，他最后在密西根大学领导的密歇根拓扑学派在美国十分著名。

1 怀尔德学习培训拓扑之途

1896 年 11 月 3 日，怀尔德生于美国马萨诸萨州中西部地区的汉普登市( Hampden City) 。 少年时期，她在本地上学，钟爱歌曲并曾经在家中晚会和聚会上弹奏过移动短号，在钢琴上天赋非常高。终其一生，怀尔德维持 对歌曲创作的热忱，并常常沉溺于古典乐曲。1914 年，怀尔德进到布朗大学学习培训，想变成一名保险精算师． 因为美国参与第一次世界大战的原因，他作为一名少尉吃了2年服兵役( 1917—1919) ，并且于 1920 年获得学士学位证书。

毕业之后怀尔德留校任教，与此同时再次攻读研究生。1921 年，怀尔德赢得了保险精算数学中的研究生学位． 接着，怀尔德到以保险精算闻名的得克萨斯州立大学奥斯汀分校执教，持续开展这方面的研究和教学。在奥斯汀分校，怀尔德像一个本科毕业生一样逐渐享有“纯粹数学”带来的乐趣。那时候数学名人莫尔( Ｒ． L． Moore) 在那儿主持了一个“部位剖析”( Analysis Situs，即拓扑学) 的讨论班，怀尔德对于此事十分痴迷^[2]．

Eliakim Hastings Moore

莫尔是美国西北大学毕业医生，他的导师是著名的数学家 E． H． 莫尔( E． H． Moore) 和维布伦． 莫尔 在拓扑学研究与人才培养方面造就出众，其知名的教学方法是以好多个有限的资源公理和界定逐渐，随后它会 明确提出定律，让参加者来寻找证实^[3]． 莫尔在奥斯汀分校培养出 47 个医生，他跟跟随者们被称作德州市拓扑 流派，与美国当年的普林斯顿大学拓扑学派相映成趣^[4]． 怀尔德要求参与莫尔位置剖析讨论班，但是却遭受 了另一方的不解． 通过争取，怀尔德总算允许其参与讨论班，他十分爱惜这次机会，认真学习并验证了 一个较难出题，慢慢获得了莫尔的关注与亲睐。

莫尔习惯以工作为旗号，将一些没解决的世界数学难题发送给学生们。当怀尔德针对莫尔自己及其她在宾 夕法尼亚高校的博士研究生、美国一位数学家克莱因( J． Ｒ． Kline) 已经下手克服的一个关于持续曲线数学课问 题^[5]，提出了更加简约的证实计划方案以后，莫尔请他赶快把它写出博士学位论文． 在莫尔的帮助下，怀 尔德于 1923 年 6 月以“有关持续曲线图”( Concerning Continuous Curves) 问题实现了博士论文答辩^[6]． 至 此，怀尔德选择放弃原来所追求的保险精算工作，开始以拓扑学当作最主要的研究方向。

2 对拓扑学的重要奉献

怀尔德是莫尔在德州大学奥斯汀分校塑造的第一位拓扑学的医生． 当怀尔德开始学与研究拓扑 课时，恰逢拓扑学高速发展的阶段． 怀尔德在这个时候进到这一领域，可以说赶上拓扑学的辉煌时代，他一生 共发布著作百余篇，在其中拓扑学占据着一半以上。根据时间段区划，怀尔德的拓扑学科学研究大致可以分为两 个阶段。

第一个阶段为 1924—1930 年，这一时期怀尔德关键顺着老师莫尔开辟的德州市流派路线科学研究点集 拓扑，专注于持续曲线图与持续基础理论的探索。第二个阶段为 1930—1950 年，怀尔德主要研究高维空间拓扑与流 形拓扑基础理论，他提出了曲面的拓扑描绘，若尔当—布劳威尔定律的存在性及其理论流形的理论。具体 上，即便在 1950 年之后，怀尔德仍发布了非常数量拓扑学毕业论文。我们将要选择以下几种主题和一些重要的 毕业论文来简述怀尔德在拓扑学里的关键奉献。

2.1 平面图点集拓扑

怀尔德一开始的研究兴趣集中在平面图点集拓扑。从 1924 年起，他对于结合的连续体、连接性等诸多问题 展开了细腻科学研究。在硕士论文中，怀尔德证实一个紧连续体部分连接当且仅当一个开集的连通分支强 连接^[6]． 1921 年，芬兰一位数学家谢尔宾列昂尼与克纳斯特( Knaster) 、库拉托夫斯基等提出了一个难题: 针对点 P，存不存在具备非衰退的拟支系的结合 N，促使 N∪{ P}全连接但不包括非衰退的拟支系． 1927 年， 怀尔德结构出对符合条件的一个极为繁杂的事例^[7]．

1929 年，怀尔德定义了拟闭曲线图，他证实假如 M 连接而且部分连接，则 M 为单闭曲线图当且仅当 M 是一条拟闭曲线图^[8]． 他就表明针对部分紧连续体，家族遗传部分连接性等额的于它每一个支系或者强 连接或者弧连接^[9]．

莫尔曾得出过一个连接、部分连接、非衰退连接但是不弧连接的结合，怀尔德^[10]也曾经给出一个这种 结合。1928 年，怀尔德^[11]验证了针对 m 维欧氏空间 E^m的子集合两点间不可约连接，假如其部分连接则 弧连接． 1931 年，怀尔德^[12]又验证了针对连续体 M，假如 a，b∈M，而且对于每一个分离出来 a 和 b 的 p∈M － ［a，b］，则 M 弧连接。

2.2 统一部位剖析

1926 年至密西根大学执教后，怀尔德在探讨班里明白了拓扑学家亚力山大在 1922 年发布的一篇 毕业论文^[13]． 在这篇文章中，亚力山大验证了有名的层递定律。这一定律在今日看上去并不是很艰难，但 那时候上同调、相对性同调、杯积、正合列、同伦论并未面世，因而有一定的难度。受其激起，怀尔德的探索兴 趣逐渐转为用代数方法科学研究流形基础理论。

怀尔德从舍恩弗里斯( Schoenflies) 和布劳威尔有关若尔当曲线图定律的高维空间营销推广以及逆定理考虑， 克服了 3 维欧氏空间中2个曲面的情况^[14]． 1930 年，怀尔德再从补域的同调标准获得了 3 维度空间中若 尔当分离出来定律的逆定理^[15]．

1932 年，怀尔德在纽约进行了美国数学课大会讨论会汇报^[16]． 那时候美国有两个的拓扑学派，一个是莫尔开辟的德州市点集拓扑学派，另一个是普林斯顿大学的搭配拓扑学派。怀尔德已经从德州市流派“摆脱”， 在此次声明中，他可以将集合论与组成拓扑的办法融合，将平面图上的一些定律推广到 n 维度空间，展现了 怎样在高维空间中应用同调论。值得一提的是，他就意识到2个流派分别的缺陷，这在当时是非常不容易的。

1933 年，普林斯顿大学高等研究院创立． 在范因大厦中，有名的拓扑学家维布伦、亚力山大、莱夫谢兹、 范坎彭( Van Kampen) 、艾里克( Tucker) 、相平( Zippin) 等常常在走廊里散散步，怀尔德也是其中的熟客之一， 这也可以看作对怀尔德以前在拓扑学界学术地位的一个证实。那时候拓扑学家早已创造了多种多样同调养 论来处理一般空间和时间它们子集合，但拓扑学还是处于多面体的范围当中，理论流形及使用更抽象的同调 专业术语来结构拓扑室内空间尚没有产生． 怀尔德在拓扑学的这次变化中做出了重要贡献。

2.3 部位拓扑不变量

怀尔德有相当一部分综述论文是指“部位不变量”，即置入室内空间 S 里的室内空间 M 不同于置入的特性． 比如，中 补域的部分一致连接性( uniformly locally connected，通称 ulc) 的同胚下保持一致． 部分一致连通用性能用同调的表达来描述，考虑到 中若尔当曲线图定律，D 为其中的一个地区。D 部分一 致连接代表着给出 中一个比较有限开覆盖 μ，存在一个比较有限开覆盖 υ 促使对于每一个 U∈μ，存有 V∈υ 使 的是普普通通的． 根据同调界定 与 ，能将部分一致连接推广到高维空间。

①，同胚投射导出来是指普普通通的。

②是 ，针对每一个 ．

怀尔德验证了假如是里的闭理论流形，则 M 的两大补域全是 ． 相反，怀尔德还证实 了假如曲面的子集合 M 是至少2个域的公共性界限，其中的一个域为 ，则 M 是一个可定项的闭维广 义流形． 更进一步，假如 S 是一个可定项的 n 维理论流形促使是普普通通的，而且 U 是一个具有连接 界限 B 的 的域，则 B 为一个可定项的 n-1 维理论流形^[17]，这篇论文发表于久负盛名的美国《数 学年刊》上，在很大程度上推广了莫尔的一个定律^[18]．

1924 年，亚力山大^[19]提出了有名的带任意球( 亚力山大带任意球) 的事例，促使舍恩弗里斯定律推广到 高维空间不会再创立，即补域是，但是它们并不是部分单连接 1-ulc． 在只有同调论的专用工具下，亚力山大觉得补 域很坏是有一定道理的． 但是怀尔德在 1933 年证实，假如 U 是 的一个开子集合而且 随意变 形到 U，则 M 为一个 n － 1 维理论流形^[20]．

2.4 流形的拓扑学

1942 年，怀尔德在美国数学课大会上进行了专题讲座，因为第二次世界大战的原因，它的汇报直至 1949 年就 以《流形的拓扑》题写出版发行^[21]． 这一部经典著作一共有 402 页，在前半部通常是平面图拓扑，并以舍恩弗里斯纲要 逐渐: 设 M 为一个 2 维曲面，K 为 M 的一个闭子集合． 假如 K 是一条单闭曲线图( 1 维曲面的拓扑像) ，则 M － K是两个不交叉的连接开集 A 与 B 的并，促使． 得知每一个结合 与 同胚于一个闭园盘.事实上，促使 K 是一条单闭曲线图或佩亚诺区域的有关 M － K 充分必要条件的逆定理也存在。

《流形的拓扑学》

怀尔德在这部经典著作中的主要目标是把舍恩弗里斯定律推广到高维空间^[22]，它的关键工具是同调论。他 用 n 维理论流形取代 M，K 为了满足特殊连接与部分连接属性的闭结合。在一些情况中，K 自身即是一个 低维流形。在第一章中，怀尔德最先回顾了一般拓扑的一些定义，尤其是有关连接性的概念． 第二章以局 部连接讨论逐渐，随后转移至 n 维曲面的一些特性，根据有关 K 与 M － K 的模 2 贝蒂数的亚力山大对 偶关联，怀尔德得出了布劳威尔分离定理，对若尔当曲线定理进行了推广。

之后，怀尔德开始证明舍恩弗里斯逆定理。在第三章中，怀尔德详细讨论了佩亚诺空间，并将这些结 果应用于 2 维球面，2 维圆盘与 2 维流形． 在对局部连通进行了一系列的讨论后，第四章给出了 2 维球 面 S闭子集 K 的位置性质，特别是为了使 K 为佩亚诺连续体，怀尔德给出了 S－ K 必须满足的充分必 要条件。从第五章开始，怀尔德引入了拓扑空间的切赫同调与上同调理论，给出了同调与上同调的对偶 定理以及杯积理论。在第六章中，切赫理论被局部化，并进而引出了局部连通的同调与上同调理论，局部一致连通以及相关的主题也被讨论。第七章讨论连续，主要是对舍恩弗里斯纲领进行推广。

从第八章开始，怀尔德开始大幅讨论流形，他将 n 维广义流形定义为局部紧致的 n 维空间，它从 0 到 n － 1 维都是局部连通的并且在它的每一个点都有等于 1 的 n 维局部贝蒂数。对于这样的流形，定向 的概念得到了定义。对于可定向的流形，庞加莱对偶定理得到了证明。在一些附加条件下，亚历山大对偶 定理也建立起来了． 在接下来的章节中，怀尔德证明了当 n=1，2 时，一个分离的 n 维广义流形是一个经 典流形． 但当 n ＞ 2 时，结果不再成立。

在最后三章中，怀尔德对 n 维广义流形 M 的闭子集 K 的位置性质进行了讨论． 他对 K 为 n － 1 维广 义流形和其逆的情形进行了研究，还对 K 在维数为从 0 到 k( k ＜ n) 的局部连通或 K 为一个 k 维广义流 形进行了研究． 可以说，他建立了“局部对偶定理”，而为了得到这个定理，必须考虑接近性、避免性等这 些概念． 这些内容成功地将舍恩弗里斯纲领推广到 n 维。

总而言之，《流形的拓扑》包含了怀尔德前期大量未发表的研究成果，并将此前他的研究进行了推 广，可以看作是 20 世纪 50 年代之前怀尔德拓扑学研究的自我总结，是一部集大成之作^[23]． 在这部著作 中，怀尔德关于点集拓扑与组合拓扑统一性的思想体现地淋漓尽致． 艾伦伯格与贝格勒( Begle) 都曾高 度评价这部著作。

2.5 单调映射定理

进入到 20 世纪 50 年代以后，怀尔德的研究兴趣逐渐转入数学基础、数学史、数学哲学和数学文化 等领域。但是，他仍然没有放弃对拓扑学的研究． 1956 年，怀尔德又证明了单调映射定理^[24-25]: 如果 f: M→Y 是从一个定向的广义流形 M 到豪斯道夫空间 Y 的满射，对于所有的 y，f^-1( y) 是循环的，则 Y 是一个可 定向的广义流形，f_*是一个同构同调。这个定理极大地推广了莫尔单调映射定理． 除此以外，怀尔德还对 局部定向问题进行过研究^[26]．

2.6 拓扑学史

怀尔德对数学史有着很深刻的见解，特别是对他所研究的拓扑学的历史更是如数家珍。 他曾对整个拓扑学的发展进行了细致深入的历史研究^[27]． 在组合拓扑方面，怀尔德高度评价了莱夫谢兹引入的有 理系数链，因为有理系数的链不再符合几何直观，只有将其完全理解为一个代数对象，才能克服这个在 今天看起来很平凡的困难． 而一旦意识到这一点，群论方法的引入就很自然了。同调群的出现使得组合拓扑发展为代数拓扑。

对于点集拓扑，怀尔德指出舍恩弗里斯在若尔当曲线定理及其逆定理方面的工作被很多人忽略了， 并没有受到应有的重视，但是布劳威尔、波兰学派以及莫尔学派在舍恩弗里斯研究的基础上做了大量的 研究，得出了很多非常重要的结果。 怀尔德对组合拓扑与点集拓扑的统一进行了特别关注，这也成了他 对拓扑学历史评注中最为细致的部分，可以说是他对拓扑学史的最大贡献。除此以外，怀尔德还对拓扑 学中的“连通”( connected) 概念的演变进行了深入研究^[28]，认为舍恩弗里斯、黎斯( Ｒiesz) 、伦内斯 ( Lennes) 与豪斯道夫各自独立地得到了这个概念。

3 对后世的重要影响

怀尔德在拓扑学上的影响是深远的． 他 1924 年的博士论文在近 50 年后还有人在从事这方面的工 作^[29]． 他在 1927 年构造的具有非退化的拟分支的集合 N 的例子过于复杂，琼斯和罗伯特在 1942 年和 1956 年分别给出了两个简单的例子^[30-31]． 怀尔德 1927 年关于拟闭曲线的论文的一个问题在 1948 年由 柄解决^[32]，他 1929 年关于局部紧的连续体的研究在 1969 年由莫勒继续推进^[33]．

怀尔德最为人称道的是在广义流形理论方面的贡献^[34]，他从舍恩弗里斯的工作开始研究，后逐渐 发现广义流形理论是推广舍恩弗里斯纲领的合适框架． 20 世纪四五十年代，法国数学家莱瑞( Leray) 引 进了层与谱序列的概念． 嘉当( H． Cartan) 、波莱尔( Borel) 和塞尔( Serre) 等数学家发现了得到庞加莱对偶定理的新方法。 康纳( Conner) 熟悉广义流形理论和这种新方法，他将层、谱序列的方法引入到广义流 形。波莱尔与雷蒙德证明庞加莱与亚历山大的对偶的证明可以应用至广义流形^[35]． 1961 年，波莱尔与 莫尔又就广义流形专门引入了同调理论，被称为波莱尔—莫尔同调。

康纳和佛罗德( Floyd) 证明斯密斯流形与广义流形相同，而史密斯已经考察了周期映射的不动点集 合，因此也可以考虑拓扑变换群作用于广义流形． 1966 年怀尔德从密歇根大学退休，为了庆祝他的退 休，专门召开了一次拓扑会议，会议的主题是广义流形，大会的主题主要集中在以下 3 个主题: 局部定向 问题、广义流形的三角剖分、希尔伯特—史密斯猜想与广义流形的关系^[36]．

怀尔德还通过影响重要的拓扑学家而对拓扑学产生了重要的影响。斯廷罗德在怀尔德的指导下做 了他的第一次研究，后怀尔德安排他在哈佛大学学习代数拓扑。 怀尔德还曾帮助过艾伦伯格找工作，他 们二人还曾合作研究过局部一致连通的问题^[37]． 菲尔兹奖获得者斯梅尔也受到了怀尔德的影响． 在密 歇根大学作研究生时，斯梅尔曾参加过怀尔德的讨论班，他将怀尔德关于同调的讨论应用到同伦群，发 表了关于同伦群映射定理的维托里斯类型的论文^[38]，这是他的第二篇论文，而第一篇论文也是在怀尔 德的讨论班上完成的。可以说，怀尔德一生致力于拓扑学的研究与传播普及，早年他从事纯粹拓扑学研 究，晚年他研究拓扑学史，撰写拓扑学词条与书评，为拓扑学的发展贡献了自己一生的力量。

作者简介

王 涛( 1988—) ，男，河北省武安市人，助理研究员，博士． 研究方向: 近现代数学史。

刘鹏飞，长春师范大学教授，曾任吉林师范大学数学学院院长；中国数学会数学史分会常务理事。

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